大問Ⅲ　平面上の気体分子運動論と状態方程式熱力学・難易度 標準　

21 ③（2L/v_x）

　壁 B と壁 D は x 方向に距離 L だけ離れているので、1往復する間に x 方向に進む距離は 2L である。壁との衝突は弾性衝突で速さが変わらないから x 方向の速さは常に v_x で、必要な時間は 2L/v_x。

22 ⑥（2m v_x）

　壁 B との弾性衝突で、分子の x 方向の運動量は m v_x から −m v_x に変わる。運動量と力積の関係より分子が受ける力積の大きさは 2m v_x であり、作用反作用の法則からこれがそのまま壁 B が受ける力積の大きさになる。

23 ⑧（(m v_x²/L)t₀）

　21 より壁 B への衝突は 2L/v_x ごとに1回起こるので、時間 t₀ の間の衝突回数は t₀ ÷ (2L/v_x) = v_x t₀/(2L) である。1回あたり 2m v_x だから合計は 2m v_x × v_x t₀/(2L) = (m v_x²/L)t₀。

24 ③（m v_x²/L）

　平均の力は、受けた力積の合計を時間で割ったものである。23 より F̄ = (m v_x²/L)t₀ ÷ t₀ = m v_x²/L。

25 ⑧（N m v̄_x²/L²）

　N 個の分子から壁 B が受ける力は N F̄ = N m v̄_x²/L である。壁 B の長さは L なので、単位長さ当たりの力は p = N m v̄_x²/L ÷ L = N m v̄_x²/L²。

26 ⑤（pL² = nRT）

　(1/2)m v̄_x² = (1/2)kT より m v̄_x² = kT である。これを 25 に代入すると p = NkT/L²。N = nN_A と R = kN_A を使うと pL² = nN_A kT = nRT となる。

27 ⓐ（nRT）

　平面上の運動なので運動の自由度は x 方向と y 方向の2つである。1分子あたりの運動エネルギーの平均は 2 × (1/2)kT = kT だから、内部エネルギーは U = NkT = nN_A kT = nRT。

28 ②（R）

　面積一定では気体は外部に仕事をしないので ΔU = Q_v である。27 より ΔU = nRΔT なので、Q_v = nC_vΔT と比べて C_v = R。

29 ②（√(2RT/(mN_A))）

　二乗平均速度は √(v̄²) であり、v̄² = v̄_x² + v̄_y² = 2 × (kT/m) = 2kT/m である。k = R/N_A を代入すると √(2RT/(mN_A)) となる。

30 ①（質量が大きいと、二乗平均速度は小さくなる。）

　29 より二乗平均速度は √(2RT/(mN_A)) であり、温度 T が同じなら分子1個の質量 m の平方根に反比例する。したがって質量が大きいほど二乗平均速度は小さくなる。