大問Ⅰ　加速する台の斜面上の運動と放物運動力学・難易度 標準　

1 ④（m(a sinθ + g cosθ)）

　台とともに加速度 a で動く立場で見ると、小物体には x 軸負の向きに大きさ ma の慣性力がはたらく。斜面に垂直な方向の力のつり合いより、垂直抗力 N は重力の斜面垂直成分 mg cosθ と慣性力の斜面垂直成分 ma sinθ の和に等しく、N = m(a sinθ + g cosθ) となる。

2 ②（m(a cosθ − g sinθ)）

　同じ立場で斜面に沿った上向き（斜面を上る向き）の成分をとると、慣性力の成分 ma cosθ が上向き、重力の成分 mg sinθ が下向きである。よって合力の上向き成分は F = m(a cosθ − g sinθ)。

3 ②（a cosθ − g sinθ > 0）

　小物体が斜面をのぼりはじめるのは、台に対する斜面方向の加速度 A = F/m が正のときである。F = m(a cosθ − g sinθ) だから、条件は a cosθ − g sinθ > 0 となる。

4 ⑥（√(2h/(|a cosθ − g sinθ|sinθ))）

　斜面の最下部から頂上までの斜面に沿った長さは h/sinθ である。台に対して静止から等加速度 A = a cosθ − g sinθ で動くので (1/2)A t₁² = h/sinθ。これを解いて t₁ = √(2h/((a cosθ − g sinθ)sinθ))。3 より a cosθ − g sinθ > 0 なので絶対値をつけた表式と一致する。

5 ⑤（√(2h|a cosθ − g sinθ|/sinθ)）

　等加速度運動の公式より台に対する速さは v₀ = A t₁ である。4 の t₁ を代入すると v₀ = (a cosθ − g sinθ)√(2h/((a cosθ − g sinθ)sinθ)) = √(2h(a cosθ − g sinθ)/sinθ) となる。

6 ②（h(a sinθ + g cosθ)/(a cosθ − g sinθ)）

　台が動きはじめてから飛び出すまでに、台は床に対し x 軸正の向きに (1/2)a t₁² 動き、小物体は台に対し x 軸負の向きに h/tanθ 動く。よって x₁ = (1/2)a t₁² − h/tanθ = ha/((a cosθ − g sinθ)sinθ) − h cosθ/sinθ である。通分して分子に 1 − cos²θ = sin²θ を使うと x₁ = h(a sinθ + g cosθ)/(a cosθ − g sinθ) を得る。

7 ②（√(2h|a cosθ − g sinθ|sinθ)/g）

　飛び出した瞬間の床に対する鉛直上向きの速度は v₀ sinθ である。最高点では鉛直成分が 0 になるので v₀ sinθ − g t₂ = 0。5 の v₀ を代入して t₂ = v₀ sinθ/g = √(2h(a cosθ − g sinθ)sinθ)/g。

8 ①（(a sinθ + g cosθ)cosθ）

　最高点の床からの高さは h + v₀ t₂ sinθ − (1/2)g t₂² = h + (v₀ sinθ)²/(2g) である。(v₀ sinθ)² = 2h(a cosθ − g sinθ)sinθ を代入すると {g(1 − sin²θ) + a sinθ cosθ}(h/g) = (a sinθ + g cosθ)cosθ × (h/g) となる。

9 ⑦（√(2h(a sinθ + g cosθ)cosθ)/g）

　最高点から床までは初速度 0 の自由落下である。最高点の高さを H = (a sinθ + g cosθ)cosθ × (h/g) として (1/2)g(t₃ − t₂)² = H を解くと t₃ − t₂ = √(2h(a sinθ + g cosθ)cosθ)/g となる。

10 ⓑ（(a t₁ − v₀ cosθ)t₃ + x₁）

　飛び出した瞬間の床に対する x 方向の速度は、台の速度 a t₁ と台に対する速度の x 成分 −v₀ cosθ の和で a t₁ − v₀ cosθ である。飛び出した後は x 方向に力がはたらかないので等速直線運動をし、落下地点の x 座標は x₁ + (a t₁ − v₀ cosθ)t₃ となる。