大問Ⅱ　2つの点電荷による電場・電位と単振動電磁気・難易度 標準　

11 ⑥（点 A・点 B の両方から放射状に外向きに出ていき、2点を直接結ぶ線がない図）

　点 A と点 B の電荷はどちらも同じ大きさの正電荷である。電気力線は正電荷から出て負電荷に入るが、ここには負電荷がないので、どちらの電荷からも外向きに放射状に出ていき、2点を結ぶ電気力線は存在しない。したがって⑥が該当する。

12 ①（各電荷を囲む小さな閉曲線と、両方をまとめて囲む大きな閉曲線がある図）

　等電位線は互いに交わらず、電気力線と直交する。各電荷のごく近くでは1つの電荷が支配的で電荷を囲む閉曲線になり、十分遠方では2電荷が1つの点電荷のように見えて両方をまとめて囲む閉曲線になる。したがって①が該当する。

13 ⑦（V_O > V_D > V_E > V_C）

　電位は各点電荷による kQ/r の和である。V_C = kQ/(√2 a) + kQ/(√10 a) ≒ 1.02 kQ/a、V_D = kQ/a + kQ/(√5 a) ≒ 1.45 kQ/a、V_E = 2kQ/(√2 a) ≒ 1.41 kQ/a、V_O = 2kQ/a = 2.00 kQ/a となる。大きい順に並べると V_O > V_D > V_E > V_C。

14 ⑤（√((4kqQ/m)((1/a) − √(1/(a²+b²)))))

　点 F の電位は 2kQ/√(a²+b²)、原点 O の電位は 2kQ/a で、O のほうが高い。力学的エネルギー保存より (1/2)mv² + 2kqQ/√(a²+b²) > 2kqQ/a が原点を通過する条件なので、v² > (4kqQ/m)((1/a) − 1/√(a²+b²)) となる。

15 ④（v）

　点 G(0, −b) は点 F(0, b) と x 軸について対称な位置にあり、2つの点電荷からの距離が点 F と同じなので電位も等しい。静電気力以外の力ははたらかないから、力学的エネルギー保存より速さも発射時と同じ v になる。

16 ⓑ（√(v² + 4kqQ/(m√(a²+b²))))

　無限遠では電位が 0 である。力学的エネルギー保存より (1/2)mv_∞² = (1/2)mv² + 2kqQ/√(a²+b²) となるので、v_∞ = √(v² + 4kqQ/(m√(a²+b²)))。

17 ⓒ（0）

　点 H(0, h) は点 A と点 B から等距離にあり、2つの点電荷の電気量も等しい。したがって2つの静電気力の x 成分は大きさが等しく向きが逆になるので、和は 0 になる。

18 ⑥（−2kqQ h/(a²+h²)^(3/2)）

　電気量 −q の点電荷は正電荷 Q に引きつけられるので、力は点 H から各電荷に向かう。1つの電荷からの力の大きさは kqQ/(a²+h²) で、その y 成分は −h/√(a²+h²) 倍である。2つ分を合わせて −2kqQ h/(a²+h²)^(3/2) となる。

19 ④（2kqQ/a³）

　点 (0, y) での力は 18 の h を y に置き換えて大きさ 2kqQ|y|/(a²+y²)^(3/2) で、向きは常に原点に向かうので復元力である。(y/a)² ≒ 0 より (a²+y²)^(3/2) ≒ a³ と近似できるので、|y| にかかる係数は 2kqQ/a³。

20 ⑧（2π√(ma³/(2kqQ))）

　運動方程式は m(d²y/dt²) = −(2kqQ/a³)y となり単振動である。角振動数は ω = √(2kqQ/(ma³)) なので、周期は T = 2π/ω = 2π√(ma³/(2kqQ))。