大問Ⅲ　判別式、文字係数二次関数、閉区間での最大最小、場合分け2次関数の代数的処理(平方完成・頂点評価等)・難易度標準　

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(1) 判別式は

$$D=a^2-4(3a-5)=a^2-12a+20=(a-2)(a-10).$$

$a=5$ では $D=3\cdot(-5)=-15<0$ なので共有点をもたない。$a=12$ では $D=10\cdot2=20>0$ なので異なる2点で交わる。

$a=5$：共有点をもたない　$a=12$：異なる2点で交わる

(2)(i) $f(-1)=4a-4,\ f(1)=2a-4$で、$a>0$より$f(-1)>f(1)$。上に開く放物線なので最大値は左端で

$M=4a-4$

(ii) 軸は $x=\dfrac a2$ で、$a>0$ より $\dfrac a2>0>-1$ なので、軸が区間の左にあることはない。

$0<a\leqq2$ では軸が区間内にあるので

$$m=f\left(\dfrac a2\right)=-\dfrac{a^2}{4}+3a-5.$$

$a>2$ では軸が区間の右にあり、区間で減少するので

$$m=f(1)=2a-4.$$

（$a=2$ ではどちらの式も0になり一致する。）

$m=\begin{cases}-\dfrac{a^2}{4}+3a-5&(0<a\leqq2)\\2a-4&(a>2)\end{cases}$

(iii) $0<a\leqq2$の場合、

$$M-m=\dfrac{a^2}{4}+a+1=3$$

より$a^2+4a-8=0$。正の解は$a=2\sqrt3-2$で、範囲条件も満たす。$a>2$では$M-m=2a=3$となる解は範囲外。

$a=2\sqrt3-2$

出典：同志社女子大学 2026年度推薦S午後数学大問Ⅲ。

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