大問Ⅱ　余弦定理、ヘロンの公式、内接円、接線、方べき、外接円半径比平面図形・難易度 標準　

(1) 余弦定理より

$$\cos B=\dfrac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot5\cdot6}=\dfrac15.$$

半周長は$s=9$なので、ヘロンの公式より

$$S=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=6\sqrt6.$$

内接円半径$r$は$S=rs$より$r=2\sqrt6/3$。

(2) 円外の点から円に引いた2本の接線の長さは等しい。B, C, Aから円Iに引いた接線の長さを $x,y,z$ とすると $x+y=6,\ y+z=7,\ z+x=5$ なので $x+y+z=9$、$BD=x=9-7=2$。したがって $DC=6-2=4$。

点Dは円Oの弦AEと弦BCの交点なので、方べきの定理より

$$AD\cdot DE=BD\cdot DC=2\cdot4=8.$$

Dは辺BC上にあるので $\angle ABD=\angle ABC$ で、(1) より $\cos\angle ABD=\dfrac15$。三角形ABDに余弦定理を用いると

$$AD^2=5^2+2^2-2\cdot5\cdot2\cdot\dfrac15=25$$

なので $AD=5$、$DE=\dfrac85$。

(3) A,B,C,Eは同一円周上、かつDはAE上なので$\angle DEC=\angle AEC=\angle ABC$。円Jの半径を$R_J$とすると

$$R_J=\dfrac{DC}{2\sin\angle DEC}=\dfrac4{2\cdot(2\sqrt6/5)}=\dfrac{5\sqrt6}{6}.$$

よって

$$r:R_J=\dfrac{2\sqrt6}{3}:\dfrac{5\sqrt6}{6}=4:5.$$