大問Ⅰ　式の値、整数不等式、必要条件、面積比、標準偏差、反復試行と条件付き確率式と証明・不等式・難易度 標準　

(1) 有理化すると $x=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$、また$\dfrac1x=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$なので$x+\dfrac1x=3$。

$$ (x^2+1)\left(\dfrac1{x^2}+1\right)=x^2+2+\dfrac1{x^2}=\left(x+\dfrac1x\right)^2=9. $$

(2) 整数を$n$とすると $45<3(n-7)<50$。よって $22<n<\dfrac{71}{3}$ であり、整数は$n=23$。

(3) 式は$(\sqrt2-1)(a-b)$。これが無理数なら$a-b\ne0$、すなわち$a\ne b$なので必要条件である。一方、$a-b=\sqrt2+1$なら$a\ne b$だが積は1で有理数となるため、十分条件ではない。

(4) 三角形ABEと直線DC（D, F, Cは一直線上）にメネラウスの定理を用いると

$$\dfrac{AD}{DB}\cdot\dfrac{BC}{CE}\cdot\dfrac{EF}{FA}=1.$$

$AD:DB=1:1$、$BC:CE=3:2$ なので $1\cdot\dfrac32\cdot\dfrac{EF}{FA}=1$。よって $\dfrac{EF}{FA}=\dfrac23$、すなわち $AF:FE=3:2$。

三角形AECと三角形ABCは頂点Aを共有し、底辺EC、BCが同じ直線上にあるので

$$\triangle AEC=\dfrac{EC}{BC}\triangle ABC=\dfrac23\triangle ABC.$$

三角形AFCと三角形AECは頂点Cを共有し、底辺AF、AEが同じ直線上にあるので

$$\triangle AFC=\dfrac{AF}{AE}\triangle AEC=\dfrac35\cdot\dfrac23\triangle ABC=\dfrac25\triangle ABC.$$

(5) 既知9個の和は66なので$a=4$。平均7からの偏差平方和は

$36+16+0+0+0+0+9+25+25+9=120$。

分散は12、標準偏差は$\sqrt{12}=2\sqrt3\simeq3.464$より3.5。

(6) 1回に赤が出る確率は$\dfrac{1}{3}$。

(i) ${}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{8}{27}$。

(ii) 赤2回の位置の選び方は6通りで等確率。そのうち連続するのは$(1,2),(2,3),(3,4)$の3通りなので$\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$。