大問Ⅱ 余弦定理・正弦定理・外接円、対称移動でできる五角形の面積と線分の最小値平面図形・難易度 標準
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無料(1) 余弦定理より
$$BC^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cos60^\circ=21$$
なので $BC=\sqrt{21}$。
正弦定理より
$$\sin B=\dfrac{AC\sin60^\circ}{BC}=\dfrac{4\cdot\sqrt3/2}{\sqrt{21}}=\dfrac{2\sqrt7}{7}.$$
外接円の半径を$R_0$とすると $2R_0=BC/\sin60^\circ$ より $R_0=\sqrt7$。
(2)(i) 対称移動により $\triangle AQP=\triangle ABP$、$\triangle ARP=\triangle ACP$。したがって五角形の面積は三角形ABCの2倍である。
$$2\cdot\dfrac12\cdot5\cdot4\sin60^\circ=10\sqrt3.$$
(ii) $AQ=AP=AR=x$。また $\angle QAR=2\angle BAC=120^\circ$ なので、余弦定理より
$$QR^2=x^2+x^2-2x^2\cos120^\circ=3x^2,$$
よって $QR=\sqrt3x$。
$AP$が最小になるのはAPがBCに垂直なときであり、三角形ABCの高さは
$$\dfrac{AB\cdot AC\sin60^\circ}{BC}=\dfrac{10\sqrt3}{\sqrt{21}}=\dfrac{10\sqrt7}{7}.$$
したがって
$$QR_{\min}=\sqrt3\cdot\dfrac{10\sqrt7}{7}=\dfrac{10\sqrt{21}}7.$$
出典：同志社女子大学 2026年度 推薦S午前 数学 大問Ⅱ。
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