大問Ⅰ　式の計算、連立不等式、必要十分条件、方べき、分散・相関係数、確率と期待値データの分析・難易度 標準　

(1) $xy=3$、$x+y=2\sqrt6$、$x-y=2\sqrt3$ より

$$x^3y-xy^3=xy(x-y)(x+y)=3\cdot2\sqrt3\cdot2\sqrt6=36\sqrt2.$$

(2) $x(x-3)<40\iff x^2-3x-40<0\iff -5<x<8$。

また $|x|>\sqrt{10}$ より $x\leqq -4$ または $x\geqq4$。共通する整数は $-4,4,5,6,7$ の5個。

(3) $xy+1=x+y\iff xy-x-y+1=0\iff(x-1)(y-1)=0$ より、$x=1$ または $y=1$ と同値である。

(4)

[GAP:200]

(i) 方べきの定理より $PA\cdot PB=2\cdot6=12$。一方、接線の長さを用いると $PO^2-3^2=12$ なので $PO^2=21$。

(ii) 高さが共通な三角形の面積の比は、底辺の比に等しいことを使う。

$PB=PA+AB=6$ である。

三角形PAOと三角形PBOは頂点Oを共有し、底辺PA、PBが同じ直線上にあるので

$$\triangle PBO=\dfrac{PB}{PA}\triangle PAO=3\triangle PAO.$$

三角形PAMと三角形PAOは頂点Aを共有し、底辺PM、POが同じ直線上にある。MはPOの中点なので

$$\triangle PAM=\dfrac{PM}{PO}\triangle PAO=\dfrac12\triangle PAO.$$

四角形AMOBは、三角形PBOから三角形PAMを取り除いた図形であるから

$$\text{四角形}AMOB=3\triangle PAO-\dfrac12\triangle PAO=\dfrac52\triangle PAO.$$

したがって

$$\dfrac{\text{四角形}AMOB}{\triangle APM}=\dfrac52\div\dfrac12=5.$$

(5) (i) 英単語の平均点は8点なので、偏差（得点$-8$）と人数は

$2$:1人、$1$:2人、$0$:4人、$-1$:2人、$-2$:1人。

偏差平方和は

$1\cdot2^2+2\cdot1^2+4\cdot0^2+2\cdot(-1)^2+1\cdot(-2)^2=12$

なので、分散は $12\div10=1.2$。

(ii) 漢字の平均点も8点なので、漢字の偏差と人数は

$2$:1人、$1$:3人、$0$:3人、$-1$:1人、$-2$:2人。

偏差平方和は

$1\cdot2^2+3\cdot1^2+3\cdot0^2+1\cdot(-1)^2+2\cdot(-2)^2=16$

なので、漢字の分散は $16\div10=1.6$。

共分散は、同じ人の英単語の偏差と漢字の偏差の積の平均である。$(\text{\text{英単語の偏差}},\text{\text{漢字の偏差}})$ と人数は

$(2,2)$:1人、$(1,1)$:2人、$(0,1)$:1人、$(0,0)$:3人、$(-1,-2)$:2人、$(-2,-1)$:1人

なので、偏差の積の和は

$1\cdot4+2\cdot1+1\cdot0+3\cdot0+2\cdot2+1\cdot2=12$

であり、共分散は $12\div10=1.2$。

したがって相関係数は

$$\dfrac{1.2}{\sqrt{1.2}\cdot\sqrt{1.6}}=\dfrac{1.2}{\sqrt{1.92}}=\dfrac{1.2}{0.8\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{1.732}{2}=0.866$$

小数第3位を四捨五入して $0.87$。

(6) (i) $\dfrac5{25}\cdot\dfrac4{24}=\dfrac1{30}$。

(ii) 各回で当たる確率はともに $\dfrac{5}{25}$。期待値の線形性より $2\cdot\dfrac5{25}=\dfrac25$。