大問Ⅱ　三角形の形状判定、余弦・外接円・面積、内分点と方べき、面積比平面図形・難易度標準　

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(1) 最大辺BCについて$6^2>4^2+(\sqrt{10})^2$なので鈍角三角形。

(2) 余弦定理より$\cos B=(4^2+6^2-10)/(2\cdot4\cdot6)=\dfrac{7}{8}$、したがって$\sin B=\sqrt{15}/8$。外接円半径は$R=CA/(2\sin B)=4\sqrt6/3$。面積は$S=AB\cdot BC\sin B/2=3\sqrt{15}/2$。

(3) $BD=2,DC=4$。Dは辺BC上なので$\angle ABD=\angle ABC$、$\cos\angle ABD=\dfrac{7}{8}$。三角形ABDで余弦定理より$AD^2=4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\cdot\dfrac{7}{8}=20-14=6$、ゆえに$AD=\sqrt6$。（参考：スチュワートの定理 $AB^2\cdot DC+AC^2\cdot BD=BC(AD^2+BD\cdot DC)$ でも同じ値になる。）方べきより$AD\cdot DE=BD\cdot DC=8$なので$DE=4\sqrt6/3$。AとEからBCへの高さの比は$AD:DE=3:4$で、$\triangle BCE=4\triangle ABC/3=2\sqrt{15}$。よって四角形ABECの面積は$7\sqrt{15}/2$。

鈍角、$\dfrac{7}{8},4\sqrt6/3,3\sqrt{15}/2,\sqrt6,4\sqrt6/3,7\sqrt{15}/2$

出典：同志社女子大学 2025年度推薦S午前数学大問Ⅱ。

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