大問Ⅱ　③ 格子点上のランダムウォーク（座標変換による独立化）確率・難易度 　

$u=x-y$、$v=x+y$ という新しい座標を導入する。1回の移動での $(\Delta u,\Delta v)$ は

$(m+1,n)$へ：$(1,1)$　$(m,n+1)$へ：$(-1,1)$　$(m-1,n)$へ：$(-1,-1)$　$(m,n-1)$へ：$(1,-1)$

の4通りで、これは「$\Delta u=\pm1$」と「$\Delta v=\pm1$」の組み合わせ4通り（各確率$1/4$）に1対1対応する。よって $\Delta u$ と $\Delta v$ はそれぞれ独立に確率 $1/2$ で $+1$、確率 $1/2$ で $-1$ をとり、$u,v$ はそれぞれ独立な1次元対称ランダムウォークとみなせる。

(1) $y=x$ 上 $\Leftrightarrow u=0$。6回のうち $+1$ が3回・$-1$ が3回のとき $u=0$ になるので、確率は

$$ {}_6\mathrm{C}_3\left(\dfrac12\right)^6=\dfrac{5}{16}. $$

(2) 原点 $\Leftrightarrow u=0$ かつ $v=0$。$u$と$v$は独立なので

$$ P(\text{原点})=P(u=0)\times P(v=0)=\left(\dfrac{5}{16}\right)^2=\dfrac{25}{256}. $$