大問Ⅱ　定積分を含む関数の決定、放物線の頂点と接線、放物線と x 軸で囲む面積、正三角形になる条件数学II(微分法・積分法)・難易度 標準　

(1)(i) ア = 2、イ = 4、ウ = 8

　b = ∫₀¹ f(t) dt は定数なので、a = 2 のとき f(x) = -2x² + 8x + 2b - (2/3) と書ける。

　平方完成すると f(x) = -2(x-2)² + 8 + 2b - (2/3) となり、定数部分によらず頂点の x 座標は 2。

　また f'(x) = -4x + 8 である。

(1)(ii) エ = 8、オ = 3、カ = 2

　b = ∫₀¹ f(t) dt とおくと、b = ∫₀¹ {-2t² + 8t + 2b - (2/3)} dt = -(2/3) + 4 + 2b - (2/3) = 2b + (8/3)。

　これを b について解くと b = -(8/3)。よって ∫₀¹ f(t) dt = -(8/3)。

　このとき f(x) = -2(x-2)² + 8 + 2・(-(8/3)) - (2/3) = -2(x-2)² + 2 なので、P の y 座標は 2。

(1)(iii) キク = 12、ケ = 4

　f(x) = -2(x-2)² + 2 より f(-1) = -2・9 + 2 = -16。また f'(x) = -4x + 8 より f'(-1) = 12。

　接線は傾き f'(-1) = 12 で点 (-1, -16) を通るから y = 12(x+1) - 16。

　整理して y = 12x - 4。

(1)(iv) コ = 1、サ = 8、シ = 3

　f(x) = 0 より -2(x-2)² + 2 = 0、(x-2)² = 1、x = 1, 3。x 座標の小さい方が Q だから Q の x 座標は 1。

　f(x) = -2(x-1)(x-3) と因数分解でき、1 < x < 3 で f(x) > 0 だから、求める面積は ∫₁³ {-2(x-1)(x-3)} dx。

　∫ᵅᵝ (x-α)(x-β) dx = -(1/6)(β-α)³ を使うと 2・(1/6)(3-1)³ = (8/3)。

(2) ス = 3、セ = 4、ソ = 3

　b = ∫₀¹ f(t) dt とおくと b = -(2/3) + (a+2) + 2b - (2/3)、すなわち b = -a - (2/3)。これを代入して f(x) = -2x² + 2(a+2)x - 2a - 2 = -2(x-1)(x-(a+1))。

　a > 0 より Q(1, 0)、R(a+1, 0) で QR = a。また頂点 P の x 座標は ((a+2)/2) で、f((a+2)/2) = -2・(a/2)・(-(a/2)) = (a²/2) だから P の y 座標は (a²/2)。

　△PQR が正三角形になるのは（P は QR の垂直二等分線上にあるので）高さが QR の (√3/2) 倍のときで、(a²/2) = (√3/2)a より a = √3。

　よって面積は (√3/4)QR² = (√3/4)・3 = (3/4)√3。