大問Ⅰ　直径の両端から定まる球面の方程式、直線と座標平面の交点、球面と座標平面・座標軸の交わり、直角三角形の面積と点から平面への距離数学B・C(空間ベクトル)／図形と方程式・難易度 標準　

(1) ア = 3、イ = 2、ウ = 2、エオ = 14

　線分 AB を直径とする球面の中心は AB の中点だから、((6+0)/2, (0+4)/2, (1+3)/2) = (3, 2, 2)。

　AB = √{(0-6)² + (4-0)² + (3-1)²} = √(36+16+4) = √56 = 2√14 なので、半径はその半分で √14。

　よって中心 (3, 2, 2)、半径 √14 の球面として (x-3)² + (y-2)² + (z-2)² = 14。

(2) カ = 9、キ = 2、ク = 0

　直線 AB 上の点は、実数 t を用いて A + t・AB 方向ベクトル、すなわち (6, 0, 1) + t(-6, 4, 2) = (6-6t, 4t, 1+2t) と表せる。

　xy 平面上にあるのは z 座標が 0 のときだから、1 + 2t = 0 より t = -(1/2)。

　これを代入して (6+3, -2, 0) = (9, -2, 0)。

(3) ケ = 0、コ = 2、サ = 2、シ = 5

　yz 平面は x = 0 だから、球面の方程式に x = 0 を代入して (0-3)² + (y-2)² + (z-2)² = 14。

　整理すると (y-2)² + (z-2)² = 5 となり、これは yz 平面上で中心 (y, z) = (2, 2)、半径 √5 の円を表す。

　空間の点として書けば中心は (0, 2, 2) である。

(4) ス = 1、セ = 6、ソ = 5、タ = 4、チ = 5、ツ = 5

　z 軸は x = y = 0 だから、(0-3)² + (0-2)² + (z-2)² = 14 より (z-2)² = 1、z = 1, 3。よって P(0, 0, 1)、Q(0, 0, 3)。

　AB は球面 C の直径であり、P は C 上の点だから ∠APB = 90°。PA = (6, 0, 0)、PB = (0, 4, 2) で |PA| = 6、|PB| = √(16+4) = 2√5 なので、△ABP の面積は (1/2)・6・2√5 = 6√5。

　QR は点 Q と平面 ABP の距離である。PA、PB と垂直なベクトルとして (PA)×(PB) 方向の (0, -1, 2) がとれる（(6,0,0)・(0,-1,2) = 0、(0,4,2)・(0,-1,2) = -4+4 = 0）ので、平面 ABP は -(y-0) + 2(z-1) = 0、すなわち -y + 2z = 2。

　QR = |-0 + 2・3 - 2|÷√(0²+(-1)²+2²) = 4÷√5 = (4/5)√5。