大問Ⅲ　3次関数の極値、接線と3次曲線の共有点、面積、三角形の面積の最大と方程式数学II(微分法・積分法)・難易度 標準　

(1) ［33］［34］ = 18、［35］ = 2

　f'(x) = 3x² - 18x + 24 = 3(x - 2)(x - 4) なので f'(x) = 0 となるのは x = 2, 4。

　f'(x) の符号は x < 2 で正、2 < x < 4 で負、x > 4 で正だから x = 2 で極大、x = 4 で極小。

　極大値は f(2) = 8 - 36 + 48 - 2 = 18。

(2) ［36］ = 9、［37］ = 5、［38］ = 7

　f(1) = 1 - 9 + 24 - 2 = 14、f'(1) = 3 - 18 + 24 = 9 なので、接線 ℓ は y = 9(x - 1) + 14 = 9x + 5。

　f(x) - (9x + 5) = x³ - 9x² + 15x - 7 = (x - 1)²(x - 7) と因数分解できる。x = 1 は接点なので重解となり、残る共有点の x 座標が b = 7。

(3) ［39］［40］［41］ = 108

　1 < x < 7 では (x - 1)²(x - 7) < 0、すなわち ℓ が C の上側にある。よって

　S = ∫[1,7]{(9x + 5) - f(x)}dx = ∫[1,7]{-(x - 1)²(x - 7)}dx。

　u = x - 1 と置換すると S = ∫[0,6](6u² - u³)du = [2u³ - (u⁴/4)]₀⁶ = 432 - 324 = 108。

(4) ［42］［43］ = 96、［44］ = 5

　A(1, 14)、f(7) = 343 - 441 + 168 - 2 = 68 より B(7, 68) なので AB = √(6² + 54²) = 6√82。

　ℓ を 9x - y + 5 = 0 と書くと、点 P(t, f(t)) と ℓ の距離は |9t - f(t) + 5|/√82 = (t - 1)²(7 - t)/√82（1 < t < 7 では (t - 1)²(7 - t) > 0）。

　よって △ABP = (1/2)·6√82·(t - 1)²(7 - t)/√82 = 3(t - 1)²(7 - t)。

　g(t) = (t - 1)²(7 - t) とおくと g'(t) = (t - 1){2(7 - t) - (t - 1)} = 3(t - 1)(5 - t) なので、1 < t < 5 で増加、5 < t < 7 で減少。

　t = 5 で最大となり g(5) = 4²·2 = 32、面積の最大値は 3·32 = 96。

(5) ［45］ = 3、［46］ = 3、［47］ = 2、［48］ = 3

　(4/9)S = (4/9)·108 = 48 なので 3(t - 1)²(7 - t) = 48、すなわち (t - 1)²(7 - t) = 16。

　左辺を展開すると -t³ + 9t² - 15t + 7 = 16、整理して t³ - 9t² + 15t + 9 = 0。

　t = 3 を代入すると 27 - 81 + 45 + 9 = 0 となるので (t - 3)(t² - 6t - 3) = 0、よって t = 3, 3 ± 2√3。

　1 < t < 7 を満たすのは t = 3 と t = 3 + 2√3 の2つ（3 - 2√3 < 0 なので不適）。小さい順に 3, 3 + 2√3。