大問Ⅱ　円と直線の交点、円周角の定理、三角形の面積、円周上の点と直線の距離の最大数学II(図形と方程式)・難易度 標準　

(1) ［18］ = 5、［19］ = 0、-(［20］/［21］) = -(7/5)

　y = -x + 5 を x² + y² = 25 に代入すると x² + (5 - x)² = 25。整理して 2x² - 10x = 0、2x(x - 5) = 0 より x = 0, 5。

　x 座標が大きい順に A, B とするので、A の x 座標は 5、B の x 座標は 0。

　B(0, 5) を通り傾き 7 の直線 m は y = 7x + 5。これを円の式に代入すると x² + (7x + 5)² = 25、整理して 50x² + 70x = 0、10x(5x + 7) = 0 より x = 0, -(7/5)。B と異なる交点 C の x 座標は -(7/5)。

(2) (［22］/［23］)π = (1/4)π、［24］ = 8、［25］［26］ = 28

　A(5, 0), B(0, 5) より →OA・→OB = 0 なので中心角 ∠AOB = (1/2)π。

　C の y 座標は 7·(-(7/5)) + 5 = -(24/5) なので C(-(7/5), -(24/5)) であり、C は弧 AB のうち長いほうの弧上にある。よって円周角の定理より ∠ACB は中心角の半分で (1/4)π。

　AC = √((5 + (7/5))² + (24/5)²) = (1/5)√(32² + 24²) = (1/5)√1600 = 8。

　BC = √((7/5)² + (5 + (24/5))²) = (1/5)√(7² + 49²) = (1/5)·7√50 = 7√2。

　△ABC = (1/2)·CA·CB·sin∠ACB = (1/2)·8·7√2·((√2)/2) = 28。

(3)(i) (-［27］, ［28］) = (-3, 4)

　△APC は底辺 AC の長さが一定なので、面積が最大になるのは P と直線 AC の距離が最大になるときである。

　直線 AC は A(5, 0), C(-(7/5), -(24/5)) を通り、方向ベクトルは ((32/5), (24/5)) すなわち (4, 3) に平行なので、方程式は 3(x - 5) - 4y = 0、つまり 3x - 4y - 15 = 0。

　中心 O からこの直線までの距離は |-15|/√(3² + 4²) = 3 である。円周上で直線 AC から最も遠い点は、O から直線に下ろした垂線の向きと逆向きに半径 5 だけ進んだ点だから、O + 5·(-(3/5), (4/5)) = (-3, 4)。

(ii) (［29］/［30］) = (4/3)

　∠APC は弧 AC（P を含まない側）に対する円周角なので、その中心角 ∠AOC の半分である。

　→OA・→OC = 5·(-(7/5)) + 0·(-(24/5)) = -7、|→OA||→OC| = 25 より cos∠AOC = -(7/25)。

　∠APC = (1/2)∠AOC で 0 < ∠APC < (1/2)π だから cos∠APC > 0。2cos²∠APC - 1 = -(7/25) より cos²∠APC = (9/25)、cos∠APC = (3/5)、sin∠APC = (4/5)。

　よって tan∠APC = (4/5)÷(3/5) = (4/3)。

(iii) ［31］［32］ = 32

　P(-3, 4) と直線 3x - 4y - 15 = 0 の距離は |3·(-3) - 4·4 - 15|/5 = 40 ÷ 5 = 8。

　底辺 AC = 8 なので △APC = (1/2)·8·8 = 32。