大問Ⅲ　複素数平面とアポロニウスの円（大問まるごと）複素数平面・難易度 標準　

〔配点〕アイ 4点／ウ 4点／エ 4点／オカキ 5点／クケ 4点／コサシス 4点／セソタチ 4点／ツテトナニ 5点　（計 34点）

【(1) 比をつくる】

与式を $\gamma-\alpha$ の形に整理する。

$$\gamma-\alpha=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\,\alpha+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\,\beta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\left(\beta-\alpha\right)$$

よって $\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$。

〔急所〕$\gamma$ の式に $\alpha$ が2か所出てくるのを $\gamma-\alpha$ にまとめると，いきなり比が出る。複素数で角と長さを聞かれたら，まず $\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ を作る。

【(2) 比から角を読む】

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}i=\dfrac{1}{\sqrt{3}}i$ は，絶対値 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，偏角 $\dfrac{\pi}{2}$ の複素数である。

$$\left|\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\right|=\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}},\qquad \arg\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\angle\mathrm{BAC}=\dfrac{\pi}{2}$$

したがって $\angle\mathrm{A}=\dfrac{\pi}{2}$。直角三角形で $\tan\angle\mathrm{B}=\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ だから $\angle\mathrm{B}=\dfrac{\pi}{6}$。

〔急所〕$\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ は「偏角が頂点 A の角，絶対値が辺の比」の2つを同時に持っている。この1つの複素数から，三角形の形が完全に決まる。

【(3) 図形の正体を突き止める】

$\left|z-(1+2i)\right|=2\left|z-1\right|$ を $z=x+yi$ として書き下す。両辺を2乗して

$$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4\left\{(x-1)^{2}+y^{2}\right\}$$

整理すると $3x^{2}-6x+3y^{2}+4y-1=0$，すなわち $x^{2}-2x+y^{2}+\dfrac{4}{3}y-\dfrac{1}{3}=0$。平方完成して

$$(x-1)^{2}+\left(y+\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{16}{9}$$

これは中心 $\left(1,\ -\dfrac{2}{3}\right)$，半径 $\dfrac{4}{3}$ の円（アポロニウスの円）である。

ここで (2) より $\angle\mathrm{A}=\dfrac{\pi}{2}$。円周角が直角になるのは，向かい合う弦が直径のときに限る。よって線分 BC はこの円の直径である。

$$\text{BC の中点}=\text{円の中心}=1-\dfrac{2}{3}i,\qquad \mathrm{BC}=2\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}$$

〔急所〕(2) で出した「$\angle\mathrm{A}$ が直角」が，(3) でそのまま効く。3点が同じ円の上にあって A の角が直角なら，BC は直径。中点の計算も長さの計算も要らない。

【(4) 具体的に求める】

$\alpha$ は実数なので $y=0$ を円の式に代入する。

$$(x-1)^{2}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{16}{9}\ \Longrightarrow\ (x-1)^{2}=\dfrac{4}{3}\ \Longrightarrow\ x=1\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{3\pm 2\sqrt{3}}{3}$$

$\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3}$ は $2\sqrt{3}\fallingdotseq 3.46>3$ より負だから，正の実数は

$$\alpha=\dfrac{3+2\sqrt{3}}{3}$$

次に $\beta$ と $\gamma$。BC は直径で中点が $M=1-\dfrac{2}{3}i$ だから $\beta+\gamma=2M=2-\dfrac{4}{3}i$。これと $\gamma=\alpha+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i(\beta-\alpha)$ を連立する。

$$\beta\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right)+\alpha\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right)=2-\dfrac{4}{3}i$$

$\alpha=1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ を代入して計算すると $\beta=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3}$（実数）となり，

$$\gamma=2M-\beta=\left(2-\dfrac{4}{3}i\right)-\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{3+2\sqrt{3}-4i}{3}$$

〔検算〕$\alpha$ と $\beta$ はどちらも実軸上の点で，$x=\dfrac{3\pm 2\sqrt{3}}{3}$ の2解そのもの。つまり A と B は円と実軸の交点の2つで，C は B の対蹠点である。$\left|\gamma-M\right|=\left|\dfrac{2\sqrt{3}}{3}-\dfrac{2}{3}i\right|=\sqrt{\dfrac{12}{9}+\dfrac{4}{9}}=\dfrac{4}{3}$ となり，半径に一致する。

〔この問題の型〕複素数平面の大問は，この6年間ずっと「①極形式で表す → ②累乗・1の $n$ 乗根 → ③図形（角・中点・面積・正三角形条件）」の3手で説明がつく。本問は ① を $\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ が担い，③ がアポロニウスの円という形で出た。