閉じる ×Topic1小問 (1)
$t=\sin\theta-\cos\theta$ の範囲は合成で求める
$\sin\theta-\cos\theta$は同じ周期の和なので合成して$\sqrt2\sin(\theta-\tfrac{\pi}{4})$と書ける。$\theta$の範囲から$\theta-\tfrac{\pi}{4}$の範囲を出し、端が含まれるかに注意して$t$の範囲を決める。
ヒント
$t=\sqrt2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$と合成し、$\theta-\dfrac{\pi}{4}$の範囲を書き出そう。
この問題での考え方 小問 (1)「$t=\sin\theta-\cos\theta$ のとりうる値の範囲」を聞かれ、しかも $\theta$ が $0<\theta<\pi$ と範囲つきで動いているので、$\sin$ と $\cos$ を1つの三角関数にまとめて範囲を読み取る方針にします。
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の係数はそれぞれ $1,\ -1$ なので、振幅は $\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$ です。$\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\left(\sin\theta\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}-\cos\theta\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}\right)=\sqrt2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$ と合成します。
$0<\theta<\pi$ から各辺に $-\dfrac{\pi}{4}$ を足して、$-\dfrac{\pi}{4}<\theta-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{3\pi}{4}$ です。この区間で $\sin$ は、左端の $-\dfrac{\sqrt2}{2}$（端なので含まれない）から増えて、$\dfrac{\pi}{2}$ で最大値1になり、右端の $\dfrac{\sqrt2}{2}$ へ下がります。したがって $\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$ は $-\dfrac{\sqrt2}{2}<\sin\leqq1$ をとり、$\sqrt2$ 倍して $-1<t\leqq\sqrt2$ が出ます。
この範囲は、あとで $t$ の2次関数の最大を考えるときの定義域になるので、次の小問につなぐ大事な結果です。
解答 小問 (1)(1) Q$(\cos\theta,-\sin\theta)$。PQとABはどちらも$y$軸に平行で、PQ$=2\sin\theta$、AB$=4$、2本の間の距離は$2-\cos\theta$。よって面積は
$S=\dfrac12(4+2\sin\theta)(2-\cos\theta)=(2+\sin\theta)(2-\cos\theta)=4+2(\sin\theta-\cos\theta)-\sin\theta\cos\theta$。
$t=\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$。$0<\theta<\pi$より$-\dfrac{\pi}{4}<\theta-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{3\pi}{4}$なので、$-1<t\leqq\sqrt2$。（アイ$=-1$、ウ$=2$）
$t^2=1-2\sin\theta\cos\theta$より$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{2}$。
$S=4+2t-\dfrac{1-t^2}{2}=\dfrac12t^2+2t+\dfrac72=\dfrac12(t+2)^2+\dfrac32$。（エ/オ$=1/2$、カ$=2$、キ/ク$=3/2$）
軸は$t=-2$で、$-1<t\leqq\sqrt2$では単調増加。$t=\sqrt2$（$\theta=\dfrac{3\pi}{4}$）で最大となり、
$S=\dfrac12(\sqrt2+2)^2+\dfrac32=\dfrac12(6+4\sqrt2)+\dfrac32=2\sqrt2+\dfrac92$。（ケ$=2$、コ$=2$、サ$=2$、シ$=9$、ス$=2$）
閉じる ×Topic2小問 (1)
面積を$t$の2次関数にして、$t$の範囲で最大を求める
面積には$\sin\theta\cos\theta$が出てくる。$t^2=1-2\sin\theta\cos\theta$で和と積がつながるので、面積は$t$だけの2次式になる。あとは②で出した$t$の範囲で平方完成して最大を見る。
ヒント
面積を$4+2t-\sin\theta\cos\theta$の形にし、$t^2$を2乗して$\sin\theta\cos\theta$を$t$で書き換えよう。
この問題での考え方 小問 (1)問題文に「面積は $t$ を用いて $\dfrac{\boxed{}}{\boxed{}}(t+\boxed{})^2+\dfrac{\boxed{}}{\boxed{}}$ と表され、$t=\sqrt{\boxed{}}$ で最大」とあるので、面積を $t$ だけの2次関数にして平方完成し、$t$ の範囲で最大を調べる流れだと分かります。
台形から得た $S=4+2t-\sin\theta\cos\theta$ に、$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{2}$ を代入します。
$$S=4+2t-\dfrac{1-t^2}{2}=\dfrac12t^2+2t+\dfrac72$$
これを平方完成して $S=\dfrac12(t^2+4t)+\dfrac72=\dfrac12(t+2)^2-2+\dfrac72=\dfrac12(t+2)^2+\dfrac32$ となります。
軸は $t=-2$ で、定義域 $-1<t\leqq\sqrt2$ はすべて軸より右にあるので、$S$ はこの範囲で増加し続けます。よって最大は右端の $t=\sqrt2$ で、$S=\dfrac12(\sqrt2+2)^2+\dfrac32=\dfrac12(6+4\sqrt2)+\dfrac32=2\sqrt2+\dfrac92$ と出ます。
軸が定義域の外にあるか中にあるかを確かめるのが、この種の最大・最小の要点です。ここでは外なので、端点で決まります。
解答 小問 (1)(1) Q$(\cos\theta,-\sin\theta)$。PQとABはどちらも$y$軸に平行で、PQ$=2\sin\theta$、AB$=4$、2本の間の距離は$2-\cos\theta$。よって面積は
$S=\dfrac12(4+2\sin\theta)(2-\cos\theta)=(2+\sin\theta)(2-\cos\theta)=4+2(\sin\theta-\cos\theta)-\sin\theta\cos\theta$。
$t=\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$。$0<\theta<\pi$より$-\dfrac{\pi}{4}<\theta-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{3\pi}{4}$なので、$-1<t\leqq\sqrt2$。（アイ$=-1$、ウ$=2$）
$t^2=1-2\sin\theta\cos\theta$より$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{2}$。
$S=4+2t-\dfrac{1-t^2}{2}=\dfrac12t^2+2t+\dfrac72=\dfrac12(t+2)^2+\dfrac32$。（エ/オ$=1/2$、カ$=2$、キ/ク$=3/2$）
軸は$t=-2$で、$-1<t\leqq\sqrt2$では単調増加。$t=\sqrt2$（$\theta=\dfrac{3\pi}{4}$）で最大となり、
$S=\dfrac12(\sqrt2+2)^2+\dfrac32=\dfrac12(6+4\sqrt2)+\dfrac32=2\sqrt2+\dfrac92$。（ケ$=2$、コ$=2$、サ$=2$、シ$=9$、ス$=2$）
閉じる ×Topic3小問 (2)(i)
方程式の整数解の個数は重複組合せ（正の整数は先に1ずつ配る）
0以上の整数解は、4種類から10個を重複を許して選ぶ数と同じで、○10個と仕切り3本の並べ方で数える。正の整数解は、先に各文字に1を配り、残りを0以上で配る形に直す。
ヒント
○を10個、仕切りを3本並べる図を描いて、並べ方の数を考えよう。正の整数のときは、先に1ずつ配った残りの個数を数えよう。
この問題での考え方 小問 (2)(i)「$x+y+z+w=10$ を満たす0以上の整数の組の個数」は、4種類の文字から合計10個を、重複を許して取る数と同じです。そこで、○を10個、仕切りを3本並べる場面に置き換えます。
仕切り3本で4つの区画に分かれ、左から順に $x,\ y,\ z,\ w$ の個数になります。○10個と仕切り3本の計13個の位置のうち、仕切りの3か所を選べば並び方が決まるので、${}_{13}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{13\cdot12\cdot11}{3\cdot2\cdot1}=286$ 個です。
次に「正の整数」の場合は、各文字が1以上でなければなりません。$x'=x-1,\ y'=y-1,\ z'=z-1,\ w'=w-1$ とおくと、$x',y',z',w'\geqq0$ で、$x'+y'+z'+w'=10-4=6$ となります。
これは0以上の解の個数で、○6個と仕切り3本から ${}_{9}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{9\cdot8\cdot7}{6}=84$ 個です。「先に1ずつ配って残りを0以上で配る」と考えると、10が6に減るだけで同じ形になります。
解答 小問 (2)(i)(2)(i) 0以上の整数解は、○10個と仕切り3本の並べ方に対応する。${}_{4}\mathrm{H}_{10}={}_{13}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{13\cdot12\cdot11}{3\cdot2\cdot1}=286$個。
正の整数解は、$x'=x-1$などとおくと$x'+y'+z'+w'=6$の0以上の整数解の個数になる。${}_{9}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{9\cdot8\cdot7}{6}=84$個。
閉じる ×Topic4小問 (2)(ii)
大小関係の条件は組合せ、$\leqq$ なら重複組合せ
$x<y<z$なら、3個の数を選べば大小順の並べ方は1通りしかないので組合せ。$x\leqq y\leqq z$なら同じ数を何度選んでもよいので重複組合せになる。
ヒント
$x<y<z$のとき、1〜10から異なる3個を選ぶと$(x,y,z)$は何通り決まるか考えよう。$\leqq$のときは、0〜10の11個から重複を許して3個選ぶと見よう。
この問題での考え方 小問 (2)(ii)(ii) の2つの条件 $1\leqq x<y<z\leqq10$ と $0\leqq x\leqq y\leqq z\leqq10$ は、どちらも文字の大小が決まっているので、「並べ方」を数えるのではなく「何を選ぶか」を数える問題だと気づきます。
1つ目は等号がなく、$x,y,z$ はすべて異なります。1〜10から異なる3個を選べば、小さい順に $x,y,z$ と決まるので、並べ方は1通りしかありません。したがって ${}_{10}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{10\cdot9\cdot8}{6}=120$ 個です。
2つ目は $\leqq$ なので、同じ数を何度選んでもよく、$x=y$ や $y=z$ も許されます。0〜10の11個の整数から重複を許して3個選ぶ数なので、${}_{11}\mathrm{H}_{3}={}_{11+3-1}\mathrm{C}_{3}={}_{13}\mathrm{C}_{3}=286$ 個です。
「$<$ なら組合せ、$\leqq$ なら重複組合せ」と、等号の有無で使い分けるのがこの小問の分かれ目です。
解答 小問 (2)(ii)(2)(ii) $1\leqq x<y<z\leqq10$は、1〜10から異なる3個を選べば大小順で$(x,y,z)$が1通りに決まる。${}_{10}\mathrm{C}_{3}=120$個。
$0\leqq x\leqq y\leqq z\leqq10$は、0〜10の11個から重複を許して3個選ぶ数と同じ。${}_{11}\mathrm{H}_{3}={}_{13}\mathrm{C}_{3}=286$個。（差$x,\ y-x,\ z-y,\ 10-z$を文字とおくと(i)の0以上の解の個数と一致するので、検算にもなる。）
閉じる ×Topic5小問 (1)
面積が $\sin\theta-\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ で表される：和と積（差と積）はセット
面積を展開すると $4+2(\sin\theta-\cos\theta)-\sin\theta\cos\theta$ となり、$\sin\theta-\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の両方が現れる。$t=\sin\theta-\cos\theta$ を2乗すると $t^2=1-2\sin\theta\cos\theta$ となるので、$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{2}$ と $t$ だけで書ける。これで面積が $t$ の2次関数になる。
ヒント
$t=\sin\theta-\cos\theta$ の両辺を2乗すると、$\sin\theta\cos\theta$ は $t$ でどう書けるか。
この問題での考え方 小問 (1)面積を展開すると $4+2(\sin\theta-\cos\theta)-\sin\theta\cos\theta$ となり、$\sin\theta-\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が同時に現れます。さらに問題文が「$t=\sin\theta-\cos\theta$ とすると」と誘導しているので、$t$ だけで書き直せないかと考えます。
鍵になるのは、$\sin\theta-\cos\theta$ を2乗すると積が出ることです。
$$t^2=\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=1-2\sin\theta\cos\theta$$
これを $\sin\theta\cos\theta$ について解いて、$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{2}$ です。
これを代入すると、面積は $S=4+2t-\dfrac{1-t^2}{2}$ となり、$t$ だけの2次式になります。ここから先は、$t$ の範囲（$-1<t\leqq\sqrt2$）で平方完成して最大を見る作業になります。
$\sin\theta\pm\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が一緒に出たら、前者を $t$ とおいて2乗する、という型です。
解答 小問 (1)(1) Q$(\cos\theta,-\sin\theta)$。PQとABはどちらも$y$軸に平行で、PQ$=2\sin\theta$、AB$=4$、2本の間の距離は$2-\cos\theta$。よって面積は
$S=\dfrac12(4+2\sin\theta)(2-\cos\theta)=(2+\sin\theta)(2-\cos\theta)=4+2(\sin\theta-\cos\theta)-\sin\theta\cos\theta$。
$t=\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$。$0<\theta<\pi$より$-\dfrac{\pi}{4}<\theta-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{3\pi}{4}$なので、$-1<t\leqq\sqrt2$。（アイ$=-1$、ウ$=2$）
$t^2=1-2\sin\theta\cos\theta$より$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{2}$。
$S=4+2t-\dfrac{1-t^2}{2}=\dfrac12t^2+2t+\dfrac72=\dfrac12(t+2)^2+\dfrac32$。（エ/オ$=1/2$、カ$=2$、キ/ク$=3/2$）
軸は$t=-2$で、$-1<t\leqq\sqrt2$では単調増加。$t=\sqrt2$（$\theta=\dfrac{3\pi}{4}$）で最大となり、
$S=\dfrac12(\sqrt2+2)^2+\dfrac32=\dfrac12(6+4\sqrt2)+\dfrac32=2\sqrt2+\dfrac92$。（ケ$=2$、コ$=2$、サ$=2$、シ$=9$、ス$=2$）
閉じる ×Tactic1小問 (1)
四角形ABPQは台形：底辺×高さで面積を出す
QはPと$x$軸対称なので$Q(\cos\theta,-\sin\theta)$。PQもABも$y$軸に平行だから、四角形ABPQは台形になる。平行な2辺の長さと、その間の距離（$x$座標の差）から面積を$\theta$の式で表す。
ヒント
Qの座標を書き、PQとABの長さ、2本の間の距離（$x$座標の差）を$\sin\theta,\cos\theta$で表してみよう。
この問題での考え方 小問 (1)Q は P を $x$ 軸に関して折り返した点なので、$x$ 座標は同じで $y$ 座標だけ符号が変わり、Q$(\cos\theta,\,-\sin\theta)$ です。ここで PQ は $x=\cos\theta$ の縦線、AB は $x=2$ の縦線なので、2本とも $y$ 軸に平行だと気づきます。
平行な2辺があるので、四角形 ABPQ は台形です。上底と下底は次の通りです。
$$\mathrm{PQ}=\sin\theta-(-\sin\theta)=2\sin\theta\quad(0<\theta<\pi\text{ より }\sin\theta>0),\qquad \mathrm{AB}=4$$
高さは2本の縦線の間の距離で、$2-\cos\theta$ です。
面積は $S=\dfrac12(4+2\sin\theta)(2-\cos\theta)=(2+\sin\theta)(2-\cos\theta)$ となり、展開して $4+2\sin\theta-2\cos\theta-\sin\theta\cos\theta$ です。
この式から、$\sin\theta-\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が出てくるので、$t$ を使った書き換えにつながります。
解答 小問 (1)(1) Q$(\cos\theta,-\sin\theta)$。PQとABはどちらも$y$軸に平行で、PQ$=2\sin\theta$、AB$=4$、2本の間の距離は$2-\cos\theta$。よって面積は
$S=\dfrac12(4+2\sin\theta)(2-\cos\theta)=(2+\sin\theta)(2-\cos\theta)=4+2(\sin\theta-\cos\theta)-\sin\theta\cos\theta$。
$t=\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$。$0<\theta<\pi$より$-\dfrac{\pi}{4}<\theta-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{3\pi}{4}$なので、$-1<t\leqq\sqrt2$。（アイ$=-1$、ウ$=2$）
$t^2=1-2\sin\theta\cos\theta$より$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{2}$。
$S=4+2t-\dfrac{1-t^2}{2}=\dfrac12t^2+2t+\dfrac72=\dfrac12(t+2)^2+\dfrac32$。（エ/オ$=1/2$、カ$=2$、キ/ク$=3/2$）
軸は$t=-2$で、$-1<t\leqq\sqrt2$では単調増加。$t=\sqrt2$（$\theta=\dfrac{3\pi}{4}$）で最大となり、
$S=\dfrac12(\sqrt2+2)^2+\dfrac32=\dfrac12(6+4\sqrt2)+\dfrac32=2\sqrt2+\dfrac92$。（ケ$=2$、コ$=2$、サ$=2$、シ$=9$、ス$=2$）
閉じる ×Tactic2小問 (2)(ii)
$0\leqq x\leqq y\leqq z\leqq10$ を差でおき換えて(i)の方程式に帰着させる
$a=x,\ b=y-x,\ c=z-y,\ d=10-z$ とおくと、条件は $a,b,c,d\geqq0$ かつ $a+b+c+d=10$ になる。$(x,y,z)$ と $(a,b,c,d)$ は1対1に対応するので、(i)の0以上の整数解の個数と一致する。チャートG11は「$\leqq$ なら重複組合せ」と公式で処理するが、ここでは大小関係を差の変数に直して G10 の方程式の形に戻している点がずれる。
ヒント
$x,\ y-x,\ z-y,\ 10-z$ を新しい文字とおくと、それらの和はいくつか。
この問題での考え方 小問 (2)(ii)$0\leqq x\leqq y\leqq z\leqq10$ を、チャートの公式のように「重複組合せ」と見るのではなく、差を新しい文字にして (i) の方程式に戻す見方です。
$a=x,\ b=y-x,\ c=z-y,\ d=10-z$ とおきます。条件 $x\geqq0,\ y\geqq x,\ z\geqq y,\ z\leqq10$ は、そのまま $a,b,c,d\geqq0$ になります。また、4つを足すと途中の文字が打ち消し合って $a+b+c+d=10$ です。
逆に、0以上の整数 $a,b,c,d$ で $a+b+c+d=10$ を満たす組から、$x=a,\ y=a+b,\ z=a+b+c$ と戻せるので、1対1に対応します。したがって個数は (i) の0以上の解と同じ ${}_{13}\mathrm{C}_{3}=286$ 個です。
チャートでは「$\leqq$ なら重複組合せ」と公式を当てはめますが、ここでは大小関係を差の量に直して方程式に帰着させています。公式を忘れても求められ、(i) と答えが一致するので検算にもなります。
解答 小問 (2)(ii)(2)(ii) $1\leqq x<y<z\leqq10$は、1〜10から異なる3個を選べば大小順で$(x,y,z)$が1通りに決まる。${}_{10}\mathrm{C}_{3}=120$個。
$0\leqq x\leqq y\leqq z\leqq10$は、0〜10の11個から重複を許して3個選ぶ数と同じ。${}_{11}\mathrm{H}_{3}={}_{13}\mathrm{C}_{3}=286$個。（差$x,\ y-x,\ z-y,\ 10-z$を文字とおくと(i)の0以上の解の個数と一致するので、検算にもなる。）
閉じる ×Tactic3小問 (1)
$\theta$ の範囲が開区間のとき、$t$ の範囲の端点の等号を確かめる
$0<\theta<\pi$ は端点を含まないので、$\theta-\dfrac{\pi}{4}$ の範囲も開区間になる。$t=-1$ は両端 $\theta=0$ のときの値だから含まれず、$t=\sqrt2$ は内部の $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ で達成されるので含まれる。端点の値が実際にとられるかを、$\theta$ に戻って確認する。
ヒント
$t=-1$ と $t=\sqrt2$ になる $\theta$ は、それぞれ $0<\theta<\pi$ に入っているか。
この問題での考え方 小問 (1)$\theta$ の範囲が $0<\theta<\pi$ と開区間なので、端の値が $t$ の範囲に入るのかを、$\theta$ に戻って確かめます。
$t=\sqrt2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$ で、$\theta-\dfrac{\pi}{4}$ は $-\dfrac{\pi}{4}<\theta-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{3\pi}{4}$ を動きます。
下側は、$t$ が $-1$ になるのは $\theta-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{4}$、つまり $\theta=0$ のときだけです。$\theta=0$ は範囲に入らないので $t=-1$ はとれず、$t>-1$ となります。上側は、$t=\sqrt2$ になるのは $\theta-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$、つまり $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ のときで、これは範囲の内部なので実際にとれます。したがって $t\leqq\sqrt2$ と等号が入ります。
なお、$\theta=\pi$ のときの値は $t=1$ ですが、これは途中の値で、範囲の端にはなりません。
このように「$\theta$ の端の値」と「$t$ の最大値をとる $\theta$」を別々に調べることで、アイ$=-1$（等号なし）と $\sqrt{\ }$ のほう（等号あり）の違いが説明できます。
解答 小問 (1)(1) Q$(\cos\theta,-\sin\theta)$。PQとABはどちらも$y$軸に平行で、PQ$=2\sin\theta$、AB$=4$、2本の間の距離は$2-\cos\theta$。よって面積は
$S=\dfrac12(4+2\sin\theta)(2-\cos\theta)=(2+\sin\theta)(2-\cos\theta)=4+2(\sin\theta-\cos\theta)-\sin\theta\cos\theta$。
$t=\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$。$0<\theta<\pi$より$-\dfrac{\pi}{4}<\theta-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{3\pi}{4}$なので、$-1<t\leqq\sqrt2$。（アイ$=-1$、ウ$=2$）
$t^2=1-2\sin\theta\cos\theta$より$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{2}$。
$S=4+2t-\dfrac{1-t^2}{2}=\dfrac12t^2+2t+\dfrac72=\dfrac12(t+2)^2+\dfrac32$。（エ/オ$=1/2$、カ$=2$、キ/ク$=3/2$）
軸は$t=-2$で、$-1<t\leqq\sqrt2$では単調増加。$t=\sqrt2$（$\theta=\dfrac{3\pi}{4}$）で最大となり、
$S=\dfrac12(\sqrt2+2)^2+\dfrac32=\dfrac12(6+4\sqrt2)+\dfrac32=2\sqrt2+\dfrac92$。（ケ$=2$、コ$=2$、サ$=2$、シ$=9$、ス$=2$）
閉じる ×Tactic4小問 (2)(ii)別解
$\leqq$ を $y+1,\ z+2$ とずらして $<$ に直し、組合せで数える
$0\leqq x\leqq y\leqq z\leqq10$ の $y,z$ をそれぞれ $1,2$ ずつ大きくすると、$0\leqq x<y+1<z+2\leqq12$ となり、等号なしの大小関係になる。これは0〜12の13個から異なる3個を選ぶ問題と同じなので、重複組合せの公式を使わずに ${}_{13}\mathrm{C}_3$ で数えられる。チャートG11の「$\leqq$ なら重複組合せ」とは別の見方で、$\leqq$ を $<$ に直して通常の組合せに戻す。
ヒント
$y,\ z$ にそれぞれ $1,\ 2$ を足すと、不等号はどう変わるか。
この問題での考え方 小問 (2)(ii)$0\leqq x\leqq y\leqq z\leqq10$ のように等号が入っていると、同じ数を重複して選ぶことになります。そこで、$y,\ z$ をずらして等号を消し、普通の組合せに直す別の見方です。
$y'=y+1,\ z'=z+2$ とおくと、$x\leqq y$ は $x<y+1=y'$ に、$y\leqq z$ は $y+1<z+2$、つまり $y'<z'$ になります。範囲は $0\leqq x<y'<z'\leqq10+2=12$ となり、等号のない大小関係になります。
これは、0〜12の13個の整数から異なる3個を選ぶことと同じで、小さい順に $x,y',z'$ と決まります。したがって ${}_{13}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{13\cdot12\cdot11}{6}=286$ 個です。
チャートの「$\leqq$ なら重複組合せ ${}_{11}\mathrm{H}_3$」は、${}_{11+3-1}\mathrm{C}_3={}_{13}\mathrm{C}_3$ と書き直すと同じ値になります。別解は、${}_{11}\mathrm{H}_{3}$ が ${}_{13}\mathrm{C}_{3}$ になる理由を、「ずらして $<$ に直す」という形で見せています。
解答 小問 (2)(ii)(2)(ii) $1\leqq x<y<z\leqq10$は、1〜10から異なる3個を選べば大小順で$(x,y,z)$が1通りに決まる。${}_{10}\mathrm{C}_{3}=120$個。
$0\leqq x\leqq y\leqq z\leqq10$は、0〜10の11個から重複を許して3個選ぶ数と同じ。${}_{11}\mathrm{H}_{3}={}_{13}\mathrm{C}_{3}=286$個。（差$x,\ y-x,\ z-y,\ 10-z$を文字とおくと(i)の0以上の解の個数と一致するので、検算にもなる。）