閉じる ×Topic1
分点をAB，ACで表す
A を始点にして $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を基準にとり，R・Q・M をすべてこの2つで表しておく。R は $\frac37\overrightarrow{AB}$，Q は $\frac25\overrightarrow{AC}$，M は $\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ となる。以後の計算はすべてこの2つの係数の話になる。
ヒント
内分点は「手前の長さ：奥の長さ」の比から，始点 A からのベクトルを AB，AC の何倍かで書く。
この問題での考え方この問題は「AB を 3:4」「AC を 2:3」「中点」と、辺上の点の比がすべて与えられ、しかも交点 S・P、T・U を求める問題です。そこで、始点を A にそろえ、$\vec b=\overrightarrow{AB}$，$\vec c=\overrightarrow{AC}$ を基準にします。この2つは1次独立なので、平面上のどの点も $\vec b,\vec c$ の1通りの係数で表せ、係数比較が使えるようになります。
まず分点を表します。R は AB を $3:4$ に内分するので $\overrightarrow{AR}=\frac37\vec b$。Q は AC を $2:3$ に内分するので $\overrightarrow{AQ}=\frac25\vec c$。M は BC の中点なので $\overrightarrow{AM}=\frac12(\vec b+\vec c)$ です。
この3つを先に書いておくと、(1) では BQ 上・RC 上の表示にそのまま使え、(3) では AM の向きが $\vec b+\vec c$ と読み取れます。以後の計算は、$\vec b,\vec c$ の係数を比べる話に統一されます。
閉じる ×Topic2小問 (1)
交点の位置ベクトルを2通りに表す
S は線分BQ上の点でもあり線分RC上の点でもあるので，$\overrightarrow{AS}$ を s で表す式と t で表す式の2通りが書ける。$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ は1次独立なので，係数を比べれば s，t の連立方程式になる。
ヒント
$\overrightarrow{AS}$ を，B と Q を使った式と，R と C を使った式の2通りで書き，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$ の係数どうしを等しいとおく。
この問題での考え方 小問 (1)S は「線分BQと線分CRの交点」なので、BQ 上の点であり、かつ RC 上の点でもあります。問題文が $\mathrm{BS}:\mathrm{SQ}=(1-s):s$，$\mathrm{RS}:\mathrm{SC}=t:(1-t)$ と2つの文字を与えているのは、同じ点 $\overrightarrow{AS}$ を2通りに書けという合図です。
BQ 上と見ると、内分点の公式から
$$\overrightarrow{AS}=s\overrightarrow{AB}+(1-s)\overrightarrow{AQ}=s\vec b+\frac25(1-s)\vec c\quad…①$$
（B 側の重みは対辺側の比 $s$ になる点に注意）。RC 上と見ると
$$\overrightarrow{AS}=(1-t)\overrightarrow{AR}+t\overrightarrow{AC}=\frac37(1-t)\vec b+t\vec c\quad…②$$
$\vec b,\vec c$ は1次独立なので、①②の係数を比べて $s=\frac37(1-t)$，$\frac25(1-s)=t$ を得ます。
第2式を第1式に代入すると $s=\frac37\left(\frac35+\frac25s\right)$ となり、$\frac{29}{35}s=\frac{9}{35}$ から $s=\frac9{29}$。すると $t=\frac25\cdot\frac{20}{29}=\frac8{29}$。これを①に戻すと $\overrightarrow{AS}=\frac1{29}(9\vec b+8\vec c)$ が出ます。この形が (2) で P を作る材料になります。
解答 小問 (1)(1) S は BQ を $(1-s):s$ に内分するので
$\overrightarrow{AS}=s\vec b+(1-s)\cdot\frac25\vec c$ …①
S は RC を $t:(1-t)$ に内分するので
$\overrightarrow{AS}=(1-t)\cdot\frac37\vec b+t\vec c$ …②
①②の係数を比べて
$s=\frac37(1-t)$，$\frac25(1-s)=t$。
第2式を第1式に代入して $s=\frac37\left(1-\frac25+\frac25s\right)=\frac37\cdot\frac35+\frac{6}{35}s$ より $\frac{29}{35}s=\frac{9}{35}$，よって $s=\frac{9}{29}$。
このとき $t=\frac25\cdot\frac{20}{29}=\frac{8}{29}$。
①より $\overrightarrow{AS}=\frac{9}{29}\vec b+\frac{8}{29}\vec c=\frac{1}{29}(9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AC})$。
閉じる ×Topic3小問 (2)
直線BC上の条件と面積比
$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AS}$ とおき，P が BC 上にある条件「$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の係数の和が1」から k が決まる。MP は $\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}$ で出る。面積比は，A から BC への高さが共通な三角形どうしの底辺の比に直せる。
ヒント
$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AS}$ を AB，AC で書き，係数の和が1になるよう k を決める。面積は，A から直線BCへの高さが共通なことに注目する。
この問題での考え方 小問 (2)(2) は「直線 AS と辺 BC の交点 P」なので、P は A, S, P が一直線という条件と、P が BC 上という条件の2つを持ちます。そこで $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AS}=\frac k{29}(9\vec b+8\vec c)$ とおきます。
P が直線 BC 上にあるのは、$\overrightarrow{AP}=x\vec b+y\vec c$ と書いたとき $x+y=1$ となることです。ここでは $\frac{9k}{29}+\frac{8k}{29}=\frac{17k}{29}=1$ から $k=\frac{29}{17}$。よって $\overrightarrow{AP}=\frac1{17}(9\vec b+8\vec c)$ です。
次に $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=\frac{9\vec b+8\vec c}{17}-\frac{\vec b+\vec c}{2}=\frac{1}{34}(\vec b-\vec c)$。$\vec b-\vec c=\overrightarrow{CB}$ なので、MP は BC と平行で長さは $\frac1{34}BC$ です。
面積は、△APM と △ABC が頂点 A からの高さを共有するので底辺比 $\frac1{34}$ がそのまま面積比です。さらに S は AP 上で $AS:AP=17:29$ なので、△ASM は △APM の $\frac{17}{29}$ 倍、つまり $\frac{17}{29}\cdot\frac1{34}=\frac1{58}$ 倍になります。
解答 小問 (2)(2) $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AS}=\frac{k}{29}(9\vec b+8\vec c)$。P は BC 上なので係数の和が1：$\frac{17k}{29}=1$，$k=\frac{29}{17}$。
よって $\overrightarrow{AP}=\frac{29}{17}\overrightarrow{AS}=\frac{1}{17}(9\vec b+8\vec c)$。
$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=\frac{9\vec b+8\vec c}{17}-\frac{\vec b+\vec c}{2}=\frac{18\vec b+16\vec c-17\vec b-17\vec c}{34}=\frac{1}{34}(\vec b-\vec c)$。
$\vec b-\vec c=\overrightarrow{CB}$ なので $MP=\frac{1}{34}BC$。
△APM は △ABC と A からの高さが共通で底辺が $\frac1{34}$ 倍なので $\triangle APM=\frac1{34}\triangle ABC$。
AS:AP=17:29 なので $\triangle ASM=\frac{17}{29}\triangle APM=\frac{17}{29}\cdot\frac1{34}\triangle ABC=\frac{1}{58}\triangle ABC$。
閉じる ×Topic4小問 (3)
AM上の交点と，等高の面積比
T，U は AM 上の点なので，$\overrightarrow{AT}=\lambda(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ と置いて BQ 上の条件（係数の和1）から λ を求める。△AST，△ASM，△STU は S を頂点とし底辺が AM 上にあるので，高さが共通で面積比は AT，AM，TU の比になる。
ヒント
T を $\lambda(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ と置き，B，Q を通る直線上にある条件で λ を決める。U も同じ手順。面積は S から AM に下ろした高さが共通。
この問題での考え方 小問 (3)(3) は「AM と BQ の交点 T」「AM と RC の交点 U」を求め、その位置から面積比を出す問題です。T, U はどちらも AM 上なので、$\overrightarrow{AM}$ の実数倍、つまり $\vec b+\vec c$ の実数倍で表せます。
T は $\overrightarrow{AT}=\lambda(\vec b+\vec c)$ とおき、BQ 上の条件、すなわち $\vec b$ と $\overrightarrow{AQ}=\frac25\vec c$ を基準にしたときの係数和が 1 になることを使います。$\lambda\vec b+\frac52\lambda\cdot\frac25\vec c$ と見れば $\lambda+\frac52\lambda=1$ なので $\lambda=\frac27$、$\overrightarrow{AT}=\frac47\overrightarrow{AM}$。U も $\overrightarrow{AU}=\mu(\vec b+\vec c)$ とおき、RC 上の条件から $\mu=\frac3{10}$、$\overrightarrow{AU}=\frac35\overrightarrow{AM}$ を得ます。
面積は、△AST・△ASM・△STU がいずれも頂点 S を共有し、底辺 AT・AM・TU が同一直線 AM 上にあることに注目します。高さが共通なので面積比は底辺比に等しく、$\frac{AT}{AM}=\frac47$、$\frac{TU}{AM}=\frac35-\frac47=\frac1{35}$ と求まります。
解答 小問 (3)(3) T は AM 上なので $\overrightarrow{AT}=\lambda(\vec b+\vec c)$ とおける。T は BQ 上なので $\overrightarrow{AT}=\lambda\vec b+\lambda\vec c=(1-u)\vec b+u\cdot\frac25\vec c$ とおいて $\lambda=1-u,\ \lambda=\frac25u$。よって $u=\frac52\lambda$，$\lambda=1-\frac52\lambda$，$\lambda=\frac27$。
$\overrightarrow{AT}=\frac27(\vec b+\vec c)=\frac47\overrightarrow{AM}$。
U は AM 上で $\overrightarrow{AU}=\mu(\vec b+\vec c)$。RC 上なので $\mu(\vec b+\vec c)=(1-r)\cdot\frac37\vec b+r\vec c$ より $\mu=r,\ \mu=\frac37(1-r)$。$r=\frac37-\frac37r$ より $r=\frac{3}{10}$。
$\overrightarrow{AU}=\frac{3}{10}(\vec b+\vec c)=\frac35\overrightarrow{AM}$。
△AST，△ASM，△STU は S から直線AM に下ろした高さが共通なので，面積比は底辺 AT，AM，TU の比に等しい。
$\frac{\triangle AST}{\triangle ASM}=\frac{AT}{AM}=\frac47$。
$\frac{\triangle STU}{\triangle ASM}=\frac{TU}{AM}=\frac35-\frac47=\frac{1}{35}$。
閉じる ×Topic5小問 (3)
中線AM上の点を実数倍で置く
T が線分AM上にあるので、AT=λAM、すなわち AT=λ(b+c) と実数倍で置ける。これは3点A, T, Mの共線条件（AT=kAM）である。ここで置いた1文字を、BQ上の条件（係数の和が1）と合わせて決める。
ヒント
点TはAM上にあります。AMのベクトルは何の何倍と書けますか。
この問題での考え方 小問 (3)ここでは、T が AM 上にあるという条件を式にする場面を取り出します。T は線分 AM 上の点なので、A, T, M は一直線上にあり、$\overrightarrow{AT}=\lambda\overrightarrow{AM}$ と実数倍でおけます。M の位置ベクトルは $\frac12(\vec b+\vec c)$ ですが、係数の $\frac12$ は $\lambda$ に吸収できるので、$\overrightarrow{AT}=\lambda(\vec b+\vec c)$ とおいてかまいません。
これで T の座標のような未知数が1文字 $\lambda$ だけになりました。置いただけでは $\lambda$ は決まらないので、もう1つの条件が必要です。T は BQ 上でもあるので、$\overrightarrow{AT}=(1-u)\vec b+u\cdot\frac25\vec c$ とも書けます。
係数を比べて $\lambda=1-u$，$\lambda=\frac25u$。この2式から $u=\frac52\lambda$ を代入して $\lambda=1-\frac52\lambda$、よって $\lambda=\frac27$ です。
つまり「共線は実数倍で置く」「もう一方の直線上の条件で1文字を消す」の2段構えです。$\overrightarrow{AT}=\frac27(\vec b+\vec c)=\frac47\overrightarrow{AM}$ が面積比 $\frac{AT}{AM}$ にそのまま使えます。
解答 小問 (3)(3) T は AM 上なので $\overrightarrow{AT}=\lambda(\vec b+\vec c)$ とおける。T は BQ 上なので $\overrightarrow{AT}=\lambda\vec b+\lambda\vec c=(1-u)\vec b+u\cdot\frac25\vec c$ とおいて $\lambda=1-u,\ \lambda=\frac25u$。よって $u=\frac52\lambda$，$\lambda=1-\frac52\lambda$，$\lambda=\frac27$。
$\overrightarrow{AT}=\frac27(\vec b+\vec c)=\frac47\overrightarrow{AM}$。
U は AM 上で $\overrightarrow{AU}=\mu(\vec b+\vec c)$。RC 上なので $\mu(\vec b+\vec c)=(1-r)\cdot\frac37\vec b+r\vec c$ より $\mu=r,\ \mu=\frac37(1-r)$。$r=\frac37-\frac37r$ より $r=\frac{3}{10}$。
$\overrightarrow{AU}=\frac{3}{10}(\vec b+\vec c)=\frac35\overrightarrow{AM}$。
△AST，△ASM，△STU は S から直線AM に下ろした高さが共通なので，面積比は底辺 AT，AM，TU の比に等しい。
$\frac{\triangle AST}{\triangle ASM}=\frac{AT}{AM}=\frac47$。
$\frac{\triangle STU}{\triangle ASM}=\frac{TU}{AM}=\frac35-\frac47=\frac{1}{35}$。
閉じる ×Topic6小問 (1)別解
メネラウスの定理でBS:SQを出す
三角形ABQと直線RCにメネラウスの定理を使うと、R・S・Cが一直線上にあるので、位置ベクトルを立てずに BS:SQ が直接出る。RS:SC も三角形ACRと直線BQに同じ型を当てれば出る。比が出たあとは内分点の公式でASを表すだけになる。
ヒント
三角形ABQを1本の直線が切っている、と見ます。直線上の3点はR・S・Cです。辺ABの上、辺BQの上、辺QAの延長上の3点です。
この問題での考え方 小問 (1)チャートの例題は、位置ベクトルを2通りに立てて係数比較する形でした。この問題は辺 AB・AC 上の分点 R, Q と、線分 BQ・CR の交点 S という図形なので、メネラウスの定理で比を直接出す見方もできます。ベクトルのように文字 s, t を立てて連立する手間が省けるのが利点です。
三角形 ABQ と直線 RC（R は辺 AB 上、C は辺 AQ の延長上、S は BQ 上）を見ると
$$\frac{AR}{RB}\cdot\frac{BS}{SQ}\cdot\frac{QC}{CA}=1$$
です。$\frac{AR}{RB}=\frac34$，$\frac{QC}{CA}=\frac35$（Q は AC を $2:3$ に内分するので）を入れると $\frac{BS}{SQ}=\frac{20}{9}$、つまり $BS:SQ=20:9$ で、$s=\frac9{29}$ です。
RS:SC も、三角形 ACR と直線 BQ に当てて $\frac{AQ}{QC}\cdot\frac{CS}{SR}\cdot\frac{RB}{BA}=\frac23\cdot\frac{CS}{SR}\cdot\frac47=1$ より $CS:SR=21:8$。したがって $t=\frac8{29}$ です。
どの三角形に、どの直線を当てるかを間違えやすいので、頂点を順にたどる向きをそろえて書くのがコツです。比が出たら、$\overrightarrow{AS}=s\vec b+\frac25(1-s)\vec c$ に入れるだけで $\frac1{29}(9\vec b+8\vec c)$ に至ります。
解答 小問 (1)(1) S は BQ を $(1-s):s$ に内分するので
$\overrightarrow{AS}=s\vec b+(1-s)\cdot\frac25\vec c$ …①
S は RC を $t:(1-t)$ に内分するので
$\overrightarrow{AS}=(1-t)\cdot\frac37\vec b+t\vec c$ …②
①②の係数を比べて
$s=\frac37(1-t)$，$\frac25(1-s)=t$。
第2式を第1式に代入して $s=\frac37\left(1-\frac25+\frac25s\right)=\frac37\cdot\frac35+\frac{6}{35}s$ より $\frac{29}{35}s=\frac{9}{35}$，よって $s=\frac{9}{29}$。
このとき $t=\frac25\cdot\frac{20}{29}=\frac{8}{29}$。
①より $\overrightarrow{AS}=\frac{9}{29}\vec b+\frac{8}{29}\vec c=\frac{1}{29}(9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AC})$。
閉じる ×Topic7小問 (2)別解
チェバの定理でBP:PCを出す
AP, BQ, CR が1点Sで交わるので、三角形ABCにチェバの定理が使える。AR:RB=3:4、CQ:QA=3:2 が分かっているので BP:PC が直接出る。BP:PC が出れば、MP は BM と BP の差の長さとして求まる。
ヒント
3頂点A, B, Cから対辺へ引いた3本が1点で交わっています。1周まわる比の積はいくつになりますか。
この問題での考え方 小問 (2)チャートの例題はベクトルで $k$ を決める形でしたが、ここでは「3つの線 AP, BQ, CR が1点 S で交わる」と読めるため、チェバの定理で BP:PC を直接出せます。直線 AS が BC と交わる点 P が、まさにチェバの定理のセビアンの足にあたります。
三角形 ABC で、AP, BQ, CR が1点で交わるので
$$\frac{AR}{RB}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}=1$$
です。$\frac{AR}{RB}=\frac34$，$\frac{CQ}{QA}=\frac32$ を入れると $\frac{BP}{PC}=\frac{8}{9}$、つまり $BP:PC=8:9$ となります。
これで $BP=\frac8{17}BC$ です。M は BC の中点なので $BM=\frac12BC$。M と P の位置を比べると、P は M より B 側にあり
$$MP=BM-BP=\frac12BC-\frac8{17}BC=\frac1{34}BC$$
となります。ベクトルの解法と同じ $\frac1{34}$ が出ます。ここから面積は、$\triangle APM=\frac1{34}\triangle ABC$ と等高の比で進みます。ただし $AS:AP$ だけはこの方法では出ないので、$\overrightarrow{AP}=\frac{29}{17}\overrightarrow{AS}$ の係数が必要になる点には注意します。
解答 小問 (2)(2) $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AS}=\frac{k}{29}(9\vec b+8\vec c)$。P は BC 上なので係数の和が1：$\frac{17k}{29}=1$，$k=\frac{29}{17}$。
よって $\overrightarrow{AP}=\frac{29}{17}\overrightarrow{AS}=\frac{1}{17}(9\vec b+8\vec c)$。
$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=\frac{9\vec b+8\vec c}{17}-\frac{\vec b+\vec c}{2}=\frac{18\vec b+16\vec c-17\vec b-17\vec c}{34}=\frac{1}{34}(\vec b-\vec c)$。
$\vec b-\vec c=\overrightarrow{CB}$ なので $MP=\frac{1}{34}BC$。
△APM は △ABC と A からの高さが共通で底辺が $\frac1{34}$ 倍なので $\triangle APM=\frac1{34}\triangle ABC$。
AS:AP=17:29 なので $\triangle ASM=\frac{17}{29}\triangle APM=\frac{17}{29}\cdot\frac1{34}\triangle ABC=\frac{1}{58}\triangle ABC$。
閉じる ×Topic8小問 (3)別解
メネラウスでAT:TM、AU:UMを出す
T は三角形AMCと直線BQの交点、U は三角形ABMと直線RCの交点と見られる。それぞれにメネラウスの定理を使えば AT:TM と AU:UM が出る。そのあとは AM を底辺とする等高の面積比に直すだけである。
ヒント
三角形AMCを直線QBが切っています。切られる3辺の比の積を、Tを含めて1周分書いてみましょう。
この問題での考え方 小問 (3)チャートの例題の位置ベクトル法と違い、T, U がそれぞれ「ある三角形の辺と、別の直線との交点」とみなせるので、メネラウスの定理で AT:TM, AU:UM を直接出せます。ベクトルで λ, μ を立てる代わりに、三角形と直線の組を選ぶだけで済みます。
T は、三角形 AMC と直線 BQ（B は MC の延長上、T は AM 上、Q は CA 上）の交点です。
$$\frac{AT}{TM}\cdot\frac{MB}{BC}\cdot\frac{CQ}{QA}=1$$
で、$\frac{MB}{BC}=\frac12$，$\frac{CQ}{QA}=\frac32$ なので $\frac{AT}{TM}=\frac43$。したがって $AT=\frac47AM$ です。
U は、三角形 ABM と直線 RC（R は AB 上、U は AM 上、C は BM の延長上）の交点です。
$$\frac{AU}{UM}\cdot\frac{MC}{CB}\cdot\frac{BR}{RA}=1$$
で、$\frac{MC}{CB}=\frac12$，$\frac{BR}{RA}=\frac43$ なので $\frac{AU}{UM}=\frac32$、$AU=\frac35AM$ となります。
これで AT, AU が AM の何倍か分かりました。$TU=AU-AT=\frac35AM-\frac47AM=\frac1{35}AM$ です。△AST, △ASM, △STU は S を頂点とする等高の三角形なので、面積比は $\frac47$ と $\frac1{35}$ になります。
解答 小問 (3)(3) T は AM 上なので $\overrightarrow{AT}=\lambda(\vec b+\vec c)$ とおける。T は BQ 上なので $\overrightarrow{AT}=\lambda\vec b+\lambda\vec c=(1-u)\vec b+u\cdot\frac25\vec c$ とおいて $\lambda=1-u,\ \lambda=\frac25u$。よって $u=\frac52\lambda$，$\lambda=1-\frac52\lambda$，$\lambda=\frac27$。
$\overrightarrow{AT}=\frac27(\vec b+\vec c)=\frac47\overrightarrow{AM}$。
U は AM 上で $\overrightarrow{AU}=\mu(\vec b+\vec c)$。RC 上なので $\mu(\vec b+\vec c)=(1-r)\cdot\frac37\vec b+r\vec c$ より $\mu=r,\ \mu=\frac37(1-r)$。$r=\frac37-\frac37r$ より $r=\frac{3}{10}$。
$\overrightarrow{AU}=\frac{3}{10}(\vec b+\vec c)=\frac35\overrightarrow{AM}$。
△AST，△ASM，△STU は S から直線AM に下ろした高さが共通なので，面積比は底辺 AT，AM，TU の比に等しい。
$\frac{\triangle AST}{\triangle ASM}=\frac{AT}{AM}=\frac47$。
$\frac{\triangle STU}{\triangle ASM}=\frac{TU}{AM}=\frac35-\frac47=\frac{1}{35}$。